Урок "Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена" методическая разработка по алгебре на тему. Приведение одночлена к стандартному виду, примеры, решения Приведение одночлена к его стандартному виду

Одночлены представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Числа, переменные и их степени тоже считаются одночленами. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можно привести в вид 20a^2b^2.Такой вид называется стандартным видом одночлена.То есть, стандартный вид одночлена - это произведение коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней переменных. Коэффициенты 1 и -1 не пишут, но от -1 сохраняют минус. Одночлен и его стандартный вид

Выражения 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени.

Например, выражения - 8, 35,y и y2 - одночлены.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -7x2y2 равен -7. Коэффициенты одночленов x3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x3 = 1x3 и -xy = -1xy

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например степень одночлена 8x3yz2 равна 6, одночлена 6x равна 1, одночлена -10 равна 0.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Например

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

• Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
• Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Пример.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Решение.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Ответ:

3·x·2·x 2 =6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Решение.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .

Цель: -Познакомится с понятием одночлена;

Выработать умение приводить примеры одночленов

Определять, является ли выражение одночленом,

Указывать его коэффициент и буквенную часть.

Познакомиться с понятием «стандартный вид одночлена»

Ввести алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду;

Выработать практические навыки применения алгоритма

приведения одночлена к стандартному виду.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ТЕМА: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена Цель: -Познакомится с понятием одночлена; -Выработать умение приводить примеры одночленов -Определять, является ли выражение одночленом, - Указывать его коэффициент и буквенную часть. -Познакомиться с понятием «стандартный вид одночлена» -Ввести алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду; Выработать практические навыки применения алгоритма приведения одночлена к стандартному виду.

ОДНОЧЛЕНОМ НАЗЫВАЕТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ,КОТОРОЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ И ПЕРЕМЕННЫХ, ВОЗВЕДЕННЫХ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. 2ав, - 4а⁴в⁵, 1,7с⁸в⁴ 0; 2 ; -0,6; х; а; х ⁶ Не являются одночленом выражения вида: а+в; 2х⁴+ 3у⁹; а⁴⁄с ⁸ ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА

Рассмотрим одночлен: 3а∙4 a²b⁵c²bac⁵=3∙4aa²b⁵bc²c=12a³b⁶c³ Математика стремится к чёткости, краткости и порядку. Мы привели одночлен к более короткой записи т.е. к стандартному виду.

Алгоритм. Привести одночлен к стандартному виду и назвать коэффициент одночлена. 3х⁴ yz ∙(-2) xy⁴z ⁸= 3∙(- 2) x⁴∙ х ∙ y⁴∙ y∙z∙z ⁸ = = -6х⁵∙ y⁵∙z ⁹ ¼ab⁴c4c=¼∙4ab⁴(c∙c)=ab⁴c² (3 /10) ав Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно: 1)Перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место; 2)Перемножить все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием; 3)Перемножить все имеющиеся степени с другим буквенным основанием и т. Д. Числовой множитель одночлена записанного в стандартном виде называют коэффициентом одночлена

Привести одночлен к стандартному виду. 1 вариант а) 7с⁴·4с³·8 c⁶ б) 8х²·4 y³·(- 2х ³) 2 вариант а) 6 n²·3n³·9n⁶ б) 15 q⁴·2p²·(-5p⁵)

Проверим ответы самостоятельной работы. 1 вариант а) 244 с¹³ б) -64 x ⁸ у³ 2 вариант а) 162 n ¹¹ б) - 150 q ⁴ p⁷

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация по математике на тему "Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена". Презентация составлена для рассмотрения новой темы по математике в 7 классе "Понятие одночлена. Стандартный вид одночл...

понятие одночлена. стандартный вид одночлена

презентация к уроку алгебры в 7 классе на тему "Понятие одночлена. стандартный вид одночлена". даются понятия одночлен, степень одночлена, коэффициент одночлена, стандартный вид одночлена....

Понятие одночлена

Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.

Стандартный вид одночлена

Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.

Пример одночлена в стандартном виде:

здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.

Ещё пример одночлена в стандартном виде:

каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.

Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.

Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.

Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.

Приведение одночленов к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.

Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.

Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .

Подобные одночлены

Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.

Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.

Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.

Сложение одночленов

Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.

Ещё примеры сложения одночленов:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.

Вычитание одночленов

Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.

Ещё примеры вычитания одночленов:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Умножение одночленов

Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:

т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.

Ещё пример:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:

A 2 * a 5 = a 7 .

Это же относится и к сомножителю «b».

Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.

Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .

Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.

Одночлен - это выражение, представляющее собой произведение двух или более сомножителей, каждый из которых является числом, выраженным буквой, цифрами или степенью (с целым неотрицательным показателем):

2a , a 3 x , 4abc , -7x

Так как произведение одинаковых сомножителей можно записать в виде степени, то отдельно взятая степень (с целым неотрицательным показателем) также является одночленом:

(-4) 3 , x 5 ,

Так как число (целое или дробное), выраженное буквой или цифрами, можно записать в виде произведения этого числа на единицу, то любое отдельно взятое число тоже можно рассматривать как одночлен:

x , 16, -a ,

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена - это одночлен, у которого только один числовой множитель, который обязательно должен быть записан на первом месте. Все переменные стоят в алфавитном порядке и содержаться в одночлене только один раз.

Числа, переменные и степени переменных также относятся к одночленам стандартного вида:

7, b , x 3 , -5b 3 z 2 - одночлены стандартного вида.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена . Коэффициенты одночлена равные 1 и -1 обычно не пишут.

Если в одночлене стандартного вида нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент одночлена равен 1:

x 3 = 1 · x 3

Если в одночлене стандартного вида нет числового множителя и перед ним стоит знак минус, то подразумевается, что коэффициент одночлена равен -1:

-x 3 = -1 · x 3

Приведение одночлена к стандартному виду

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

1. Перемножить числовые множители, если их несколько. Возвести числовой множитель в степень, если у него есть показатель. Поставить числовой множитель на первое место.
2. Перемножить все одинаковые переменные, чтобы каждая переменная встречалась в одночлене только один раз.
3. Расположить переменные после числового множителя в алфавитном порядке.

Пример. Представьте одночлен в стандартном виде:

а) 3yx 2 · (-2)y 5 x ; б) 6bc · 0,5ab 3

Решение:

а) 3yx 2 · (-2)y 5 x = 3 · (-2)x 2 x y y 5 = -6x 3 y 6
б) 6bc · 0,5ab 3 = 6 · 0,5ab b 3 c = 3ab 4 c

Степень одночлена

Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех входящих в него букв.

Если одночлен является числом, то есть не содержит переменных, то его степень считается равной нулю. Например:

5, -7, 21 - одночлены нулевой степени.

Следовательно, чтобы найти степень одночлена, нужно определить показатель степени каждой из входящих в него букв и сложить эти показатели. Если показатель буквы не указан, значит он равен единице.

Примеры:

Так как у x показатель степени не указан, значит он равен 1. Других переменных одночлен не содержит, значит его степень равна 1.

Одночлен содержит всего одну переменную во второй степени, значит степень данного одночлена равна 2.

3) ab 3 c 2 d

Показатель a равен 1, показатель b - 3, показатель c - 2, показатель d - 1. Степень данного одночлена равна сумме этих показателей.